Teknik Kendali Digital: Fungsi Ahli

Pada umumnya, ketika terdapat masukan dan keluaran sistem sebagai fungsi waktu, maka relasi antara keluaran dan masukan akan muncul dalam bentuk persamaan diferensial. Jika terdapat sebuah sistem yang terbentuk dari dua buah elemen dalam hubungan seri di mana masing-masing ele-men memiliki relasi masukan-keluaran yang dideskripsikan oleh persamaan diferensial, maka tidak akan mudah untuk melihat bagaimana keluaran sis-tem tersebut dapat secara keseluruhan direlasikan terhadap masukannya. Namun demikian, terdapat satu cara untuk mengatasi kendala ini yaitu dengan mentransformasikan persamaan diferensial bersangkutan menjadi bentuk lain dengan menggunakan transformasi Laplace. Bentuk ini jauh lebih mudah dan sederhana untuk menggambarkan relasi antara masukan dan keluaran sistem jika dibandingkan dengan bentuk persamaan diferensi-al, karena manipulasi matematisnya dapat dengan mudah dilakukan dengan konsep-konsep aljabar dasar biasa.

Untuk melakukan transformasi tersebut di atas, beberapa langkah dan aturan yang harus diikuti adalah sebagai berikut:

Variabel yang merupakan fungsi waktu, misalnya tegangan masuk-an atau keluaran v di dalam suatu rangkaian listrik, ditulis sebagai v(t) untuk menunjukkan bahwa v adalah fungsi waktu. Perhatikan bahwa penulisan bentuk seperti ini tidak memiliki arti bahwa v dika-likan dengan t. Saat transformasi dilakukan, maka akan dibuat suatu variabel sebagai fungsi s, contohnya variabel tegangan akan ditulis sebagai V(s).Perhatikan bahwa huruf besar digunakan untuk menuliskan variabel-variabel sebagai fungsi s.dan ini tidak berarti bahwa V dikalikan dengan s. v(t) jika ditransformasikan akan menjadi V (s) 1 Suatu konstanta k yang tidak berubah terhadap waktu akan tetap merupakan sebuah konstanta. Jadi kv dimana v adalah fungsi waktu akan menjadi kV (s). Sebagai contoh, tegangan 3v(t) dalam bentuk fungsi s akan ditulis menjadi 3V (s).
Suatu konstanta k yang tidak berubah terhadap waktu akan tetap merupakan sebuah konstanta. Jadi kv dimana v adalah fungsi waktu akan menjadi kV (s). Sebagai contoh, tegangan 3v(t) dalam bentuk fungsi s akan ditulis menjadi 3V (s). Suatu konstanta k akan tetap merupakan konstanta k ketika ditran-sformasikan
Nilai awal dari variabel v adalah sama dengan nol pada waktu t = 0. Turunan atau derivatif pertama dari suatu fungsi waktu dv/dt akan menjadi sV (s) dan kdv/dt akan menjadi ksV (s). Sebagai contoh, tanpa nilai awal 4dv/dt sebagai fungsi s akan menjadi 4sV (s). Tanpa nilai awal pada t = 0, dv/dt akan menjadi sV (s) ketika ditran-sformasikan.
Perhatikan bahwa jika terdapat nilai awal v₀ pada t = 0, maka tu-runan pertama fungsi waktu dv/dt akan menjadi sV (s)- v₀, yaitu mengurangkannya dengan nilai awal. Adapun kdv/dt akan menjadi k[sV (s)- v₀]. Sebagai contoh. jika v₀ = 2 pada t = 0 maka dv/dt akan menjadi sV (s) 2.

A. Fungsi Ahli

Penjelasan atau istilah gain digunakan untuk menunjukkan relasi antara ma-sukan dan keluaran sebuah sistem, di mana gain G = keluaran=masukan. Bila masukan dan keluaran sistem yang dinyatakan dalam bentuk fungsi s, maka fungsi alih atau transfer function G(s) didelinisikan sebagai [keluaran Y(s)/masukan X(s)] ketika semua kondisi mula sebelum masukan dikenakan adalah sama dengan nol.

Suatu fungsi alih dapat direpresentasikan sebagai sebuah blok diagram (lihat gambar dibawah dengan X(s) sebagai masukan, Y (s) sebagai keluaran, dan fungsi alih G(s) sebagai operator di dalam kotak yang mengonversikan masukan menjadi keluaran. Blok akan merepresentasikan perkalian masuk-an. Jadi, dengan menggunakan transformasi Laplace masukan dan keluaran, maka fungsi alih dapat digunakan sebagai sebuah faktor pengali sederhana.

Gambar Fungsi alih sebagai faktor pengali masukan sistem untuk meng-

hasilkan keluaran (Bolton: 2006)

B. Fungsi Alih Dan Sistem

Tinjaulah sebuah sistem kontrol kecepatan yang terdiri dari sebuah penguat diferensial untuk memperkuat sinyal dan menggerakkan sebuah motor, yang selanjutnya akan menggerakkan sebuah poros melalui sistem gir. Umpan balik putaran poros diperoleh melalui sebuah tachogenerator.

Penguat diferensial dapat diasumsikan menghasilkan keluaran yang berbanding lurus dengan masukan sinyal error sehingga dapat direp-resentasikan oleh sebuah fungsi alih konstan K, yaitu gain K yang nilainya tidak berubah terhadap waktu.
Sinyal error merupakan masukan untuk rangkaian jangkar motor dan mengakibatkan motor memberi torka keluaran yang besarnya seban-ding dengan besar arus jangkar. Rangkaian jangkar dapat diasumsikan sebagai rangkaian yang memiliki induktansi L dan resistansi R sehing-ga fungsi alihnya adalah l/(sL + R).
Torka keluaran motor ditransformasikan menjadi putaran poros peng-gerak oleh sebuah sistem gir, dan dapat diasumsikan bahwa kecepatan putaran adalah berbanding lurus dengan torka masukan. Jadi fungsi alih sistem gir direpresentasikan oleh suatu fungsi alih konstan N, yang merupakan rasio gir.
Umpan balik diberikan melalui elemen tachogenerator dan dapat di-ambil asumsi bahwa keluaran generator berbanding langsung dengan masukannya sehingga dapat direpresentasikan sebagai fungsi alih kon-stanta H.

Diagram blok untuk sistem kontrol kecepatan poros dengan suku-suku di dalam kotak diagram adalah fungsi alih dari masing-masing elemen sistem. (Bolton: 2006)

C. Sistem dengan umpan balik

Untuk sistem-sistem dengan loop umpan balik negatif, akan didapat situasi seperti digambarkan oleh Gambar 6.4 di mana keluaran sistem diumpanba-likkan melalui suatu sistem dengan fungsi alih H(s) untuk dikurangkan dari masukan sistem G(s). Sistem umpan balik memiliki masukan Y (s) dan ke-luaran H(s)Y (s). Jadi, sinyal umpan balik adalah H(s)Y (s). Sinyal error adalah selisih antara sinyal masukan sistem X(s) dan sinyal umpan balik. Jadi,

Sistem dengan umpan balik negatif

D. Manipulasi Blok

Sering kali terjadi suatu sistem yang memiliki banyak elemen dan terkadang mempunyai lebih dari satu buah masukan. Sistem dengan masukan tunggal dan keluaran tunggal disebut sebagai sistem ISO ( Single Input Single Output). Sementara itu sistem dengan masukan berganda dan keluaran tunggal dikenal dengan istilan MISO ( Multiple Input Single Output). Berikut ini disajikan beberapa cara untuk mengatur kembali blok-blok dari suatu diagram blok sistem untuk menghasilkan penyederhanaan diagram namun tetap memberikan fungsi alih keseluruhan sistem yang sama. Untuk menyederhanakan tampilan diagram, parameter (s) dihilangkan.

a). Pemindahan Titik Penjumlahan

Untuk menyederhanakan diagram blok, terkadang titik penjumlahan perlu dipindahkan. di bawah ini mengilustrasikan aturan dasar untuk perpindahan titik penjumlahan ini.